$x^{2} - 5 x + 6 < 0$ এর সমাধান কোনটি?

Created: 1 month ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

$2 < x < 3$
খ

$- 3 < x < - 2$
গ

x < 2
ঘ

x < 3

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত অসমীকরণটি হলো:

$x^2 - 5x + 6 < 0$

এই ধরনের অসমীকরণ সমাধানের জন্য, প্রথমে আমরা সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটির (quadratic equation) মূল (roots) নির্ণয় করি।

$x^2 - 5x + 6 = 0$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle term factorization) করে পাই:

$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$

$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

সুতরাং, সমীকরণটির মূল দুটি হলো $x = 2$ এবং $x = 3$। এই মূল দুটিকে ক্রান্তিক বিন্দু (critical points) বলা হয়।

এখন, আমরা অসমীকরণ $ (x - 2)(x - 3) < 0 $ বিশ্লেষণ করব।

একটি দ্বিঘাত রাশির (quadratic expression) $ax^2 + bx + c$ এর জন্য, যদি $a > 0$ হয় (যেমন এক্ষেত্রে $x^2$ এর সহগ $1$, যা $>0$), তাহলে রাশিটির মান মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী যেকোনো মানের জন্য ঋণাত্মক ($<0$) হবে এবং মূলদ্বয়ের বাইরের যেকোনো মানের জন্য ধনাত্মক ($>0$) হবে।

যেহেতু আমাদের অসমীকরণে $x^2 - 5x + 6 < 0$ আছে, এর অর্থ হলো আমরা সেই $x$ এর মানগুলি খুঁজছি যার জন্য রাশিটি ঋণাত্মক হয়। তাই, সমাধানটি মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী হবে।

সুতরাং, $2 < x < 3$।

বিকল্প পদ্ধতি (চিহ্ন পদ্ধতি বা Interval Testing):

আমরা সংখ্যা রেখায় ক্রান্তিক বিন্দু $2$ এবং $3$ স্থাপন করে তিনটি ব্যবধান (intervals) পাই: $x < 2$, $2 < x < 3$, এবং $x > 3$। প্রতিটি ব্যবধান থেকে একটি করে মান নিয়ে $(x-2)(x-3)$ এর চিহ্ন পরীক্ষা করি।

যখন $x < 2$ (যেমন $x = 0$), তখন $(0 - 2)(0 - 3) = (-2)(-3) = 6$। এটি ধনাত্মক ($>0$)।
যখন $2 < x < 3$ (যেমন $x = 2.5$), তখন $(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) = -0.25$। এটি ঋণাত্মক ($<0$)।
যখন $x > 3$ (যেমন $x = 4$), তখন $(4 - 2)(4 - 3) = (2)(1) = 2$। এটি ধনাত্মক ($>0$)।

যেহেতু আমরা $(x-2)(x-3) < 0$ এর সমাধান খুঁজছি, তাই যে ব্যবধানে রাশিটির মান ঋণাত্মক হয় সেটিই সঠিক সমাধান।

অতএব, সমাধানটি হলো $2 < x < 3$।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যেহেতু এটি একটি সাধারণ দ্বিঘাত অসমীকরণ যেখানে $x^2$ এর সহগ ধনাত্মক, এবং অসমীকরণটি $< 0$ আকারের, তাই সমাধানটি সর্বদা দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূলের (roots) মধ্যবর্তী হবে।

প্রথমে, সমীকরণ $x^2 - 5x + 6 = 0$ এর মূল দুটি নির্ণয় করুন, যা হলো $x = 2$ এবং $x = 3$।

অসমীকরণটি $< 0$ হওয়ায়, সমাধানটি সরাসরি মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী হবে: $2 < x < 3$।

যদি অসমীকরণটি $ > 0 $ হতো, তাহলে সমাধানটি মূলদ্বয়ের বাইরের দিকে হতো, অর্থাৎ $x < 2$ অথবা $x > 3$।